Il primo sistema di numerazione posizionale fu utilizzato per calcolare il trascorrere delle stagioni e degli anni a Babilonia, nell’attuale Iraq, dal 1800 aC circa in avanti. La base non era il 10 ma il 60. Non esisteva un simbolo per ogni numero intero fino alla base, a differenza del modello “dinamico” di cifre dall’1 al 9 che è il pane quotidiano del nostro sistema decimale. Esistevano solo due simboli, l’1 e il 10, che venivano accostati in varie combinazioni per contare al massimo fino a 59. Per esempio, 2012 equivale a 33 × 601 + 32, dunque veniva rappresentato attraverso due gruppi di simboli adiacenti: un gruppo composto da tre 10 e tre 1; e un secondo gruppo composto da tre 10 e due 1. In questo caso particolare il numero è completo. Generalmente, però, per i primi quindici secoli circa di utilizzo del sistema di numerazione posizionale babilonese, l’assenza di qualsiasi potenza di 60 nella trascrizione di un numero non era contrassegnata da un simbolo ma (se andava bene) solo da uno spazio vuoto. Non sappiamo cosa cambiò intorno al 300 aC, forse l’ennesima grande confusione nella posizione di numeri. Sembra però che proprio intorno a quell’anno un terzo simbolo, una curiosa combinazione di due frecce inclinate a sinistra, cominciò a riempire gli spazi vuoti nei calcoli degli astronomi.

Fu il primo zero della storia. Circa sette secoli dopo, dall’altra parte del mondo, lo zero fu inventato una seconda volta. I sacerdoti-astronomi maya dell’America Centrale cominciarono a usare un simbolo simile a una chiocciola per riempire i vuoti all’interno del sistema posizionale vigesimale (a base 20, “lungo computo”) che utilizzavano per calcolare il loro calendario.

Lo zero come indicatore di posizione era chiaramente un concetto utile. Né i babilonesi né i maya, tuttavia, si erano resi conto di quanto fosse utile. Si tratta di un aspetto frustrante quanto tipico della tormentata storia dello zero. In qualsiasi sistema di numerazione posizionale dinamico, lo zero assume in modo quasi tacito una nuova funzione: diventa un “operatore” matematico che esprime la piena potenza della base del sistema. Ciò diventa ovvio se consideriamo il risultato che otteniamo aggiungendo uno zero alla fine di una stringa numerica decimale. Il numero 2012 diventa 20120, magicamente moltiplicato per la base 10. Sfruttiamo intuitivamente questa proprietà ogni volta che sommiamo due o più numeri e il totale in colonna passa da 9 a 10. “Riportiamo l’uno” e scriviamo lo zero per assicurarci dell’esattezza del calcolo. La semplicità di questi algoritmi è il segreto della forza e della duttilità del nostro sistema nel manipolare i numeri.

Non dobbiamo prendercela con i babilonesi e i maya per non aver capito questa sottigliezza: era molto difficile da cogliere viste le molte pecche dei loro rispettivi sistemi numerici. Ecco perché, pur avendo scoperto lo zero come simbolo, non avevano capito che era anche un numero.

Obiettivamente, la presenza dello zero nel pantheon dei numeri non è facile da accettare. Lo zero apre la strada a una serie di trappole logiche che, se non affrontate con cura e attenzione, rischiano di far crollare l’intero sistema numerico. Sommando lo zero a se stesso il suo valore non aumenta, a differenza di quanto accade con tutti gli altri numeri. Se si moltiplica per zero qualsiasi numero, non importa quanto grande, il risultato è zero. Per non parlare di quello che succede quando si divide un numero per zero.

La Grecia classica, la successiva civiltà ad adottare il concetto dello zero, non era affatto portata ad affrontarne le complessità. Il pensiero greco era legato all’idea che i numeri esprimessero delle forme geometriche; e a quale forma poteva corrispondere qualcosa che non esisteva? Lo zero poteva esprimere solo l’assenza totale di qualcosa: il vuoto, un concetto che la cosmologia dominante dell’epoca aveva bandito. Secondo questa concezione, frutto in gran parte delle teorie di Aristotele e dei suoi discepoli, i pianeti e le stelle si trovavano all’interno di una serie di sfere celesti concentriche dalle dimensioni finite. Queste sfere erano fatte di una sostanza eterea, ruotavano tutte intorno alla Terra ed erano messe in moto da un “motore immobile”. Questa rappresentazione fu in gran parte accolta dalla filosofia cristiana, per la quale era fin troppo facile identificare il motore immobile con Dio. E poiché in questa cosmologia non c’era posto per il vuoto, ne conseguiva che esso e tutto quello che poteva esservi associato era un concetto empio.

La filosofia orientale, con la sua idea di un ciclo infinito di creazione e distruzione, non aveva preoccupazioni del genere. E così la tappa successiva del viaggio dello zero fu a est, e non a ovest di Babilonia. Se ne trovano tracce nel Brahmasphutasiddhanta, un trattato sul rapporto tra la matematica e il mondo fisico scritto in India intorno al 628 dC dall’astronomo Brahmagupta.

Brahmagupta fu il primo a trattare i numeri come quantità puramente astratte, separate da qualsiasi realtà fisica o geometrica. Questo gli permetteva di affrontare domande poco ortodosse che i babilonesi e i greci avevano ignorato o considerato poco importanti, per esempio cosa succede quando a un numero ne viene sottratto uno più alto. In termini geometrici è un assurdo: quale mai può essere l’area residua quando a essa ne viene sottratta una più grande? Analogamente, come potrei vendere o barattare più capre di quelle che ho? Una volta che i numeri diventarono realtà astratte, un nuovo mondo si aprì all’orizzonte: quello dei numeri negativi.

Il risultato di questa rivoluzione fu una linea numerica continua che si estendeva all’infinito in entrambe le direzioni, con numeri sia positivi sia negativi. A metà di questa linea c’era un punto distinto, la soglia di ingresso di entrambi i mondi: sunya, il vuoto. I matematici indiani avevano osato guardare il vuoto e ne avevano tirato fuori un nuovo numero. Non passò molto prima che a questo nuovo numero fosse associato il simbolo dello zero. Nel 662, un vescovo cristiano siriano scriveva che i matematici indù eseguivano i calcoli “per mezzo di nove segni”, ma già due secoli dopo, su un’iscrizione in un tempio all’interno del grande forte medievale di Gwalior, a sud di New Delhi, in India, i nove segni erano diventati dieci. Uno zero – una specie di uovo schiacciato molto simile al simbolo che utilizziamo oggi – era entrato a far parte a pieno titolo di un sistema di numerazione posizionale dinamico che andava da 0 a 9. Fu la nascita del sistema numerico puramente astratto che oggi viene utilizzato in tutto il mondo. Di lì a poco avrebbe dato vita a un nuovo modo di fare matematica: l’algebra.

La notizia di queste innovazioni impiegò parecchi anni prima di arrivare in Europa. Solo nel 1202 un giovane italiano, Leonardo da Pisa – meglio noto come Fibonacci – pubblicò il Liber Abaci, in cui descriveva il sistema arabo di computo che aveva visto durante un viaggio lungo le coste meridionali del Mediterraneo. Questo sistema numerico, scriveva Fibonacci, era superiore all’abaco per eseguire calcoli complessi. Se mercanti e banchieri non impiegarono molto a convincersi dell’utilità del sistema indù-arabo, le autorità furono assai più sospettose. Nel 1299 la città di Firenze bandì l’uso dei numeri indù-arabi, zero compreso. La possibilità di gonfiare a dismisura il valore di un numero semplicemente aggiungendo una cifra alla fine – possibilità che non esisteva nel sistema allora dominante, non posizionale, dei numeri romani – era considerata un invito aperto alla truffa.

Lo zero inteso come numero ebbe vita ancora più difficile. Scismi, rivolte, riforma e controriforma all’interno della chiesa provocarono un dibattito interminabile sulla fondatezza della concezione aristotelica del cosmo e dunque sull’ortodossia o meno del concetto di vuoto. Solo la rivoluzione copernicana – che mandò in frantumi l’idea delle sfere celesti con la rivelazione che la Terra ruotava intorno al Sole – cominciò piano piano a liberare i matematici europei dalle costrizioni della cosmologia aristotelica a partire dal sedicesimo secolo.

Nel diciassettesimo secolo la scena era ormai pronta per il trionfo definitivo dello zero. È difficile individuare il momento preciso in cui ciò avvenne. Probabilmente l’evento decisivo fu l’introduzione del sistema delle coordinate inventato dal filosofo e matematico francese René Descartes. Il sistema cartesiano coniugava l’algebra e la geometria dando a ogni forma geometrica una nuova rappresentazione simbolica, con lo zero, il cuore immobile del sistema delle coordinate, al centro. Lo zero, al contrario di quanto sostenuto dai greci, non era affatto irrilevante in geometria: era fondamentale. Ben presto i nuovi strumenti di calcolo avrebbero dimostrato che per spiegare ogni minimo movimento nel cosmo – di una stella, di un pianeta, di una lepre che supera una tartaruga – bisogna prima capire come lo zero si fonde con l’infinitamente piccolo. Lo zero era il primo motore.

La piena comprensione dello zero diventò così la miccia della successiva rivoluzione scientifica. Gli sviluppi seguenti hanno confermato quanto lo zero sia fondamentale per la matematica e per tutto ciò che la riguarda. Oggi, quando vediamo lo zero placidamente adagiato all’interno di un numero, non ci fa nessun effetto. Abituati al concetto fin dalla più tenera età, facciamo anzi fatica a capire come abbia potuto essere motivo di tanta confusione. Quando si dice tanto rumore per nulla.